Moisiu u rrit nė Trieste, Kavajė dhe Durrės. Nė moshėn 19 vjeēare shkon nė Vjenė, ku ai me ndihmėn e Jozef Kainc ju pėrkushtua aktrimit. Mė 1898 e nisi karrieren e vet si kompars (aktorė, qė luajnė rol tė vogėl) nė Burgtheater. Pastaj vijuan angazhime nė teatėr nė Pragė dhe Berlin. Nė Berlin Aleksandėr Moisiu u pranua nė seminarin e Max Reinhardt me tė cilin shkoi nė turne nė Petersburg (1911). Atje u festua Moisiu pėr rolin e Edipusit. Pas kėtij suksesi ai u angazhua nė shumė vende tė Evropės dhe Amerikės veriore.
Fusha e veprimit tė Moisiut pėrmblidhte tė gjithė spektrin e literaturės evropiane tė teatrit, duke filluar qė nga tragjedia antike greke e deri te koha moderne. Shumė tė njohura u bėnė interpretimet e tij tė Hamletit, tė Edipusit, tė Jedermann dhe tė Fedja nė veprėn e Leon Tolstoit Kufoma e gjallė. Ai luajti po ashtu edhe rolet kryesore nė premierat e pjesėve teatrale tė Hauptmann-it (Der weiße Heiland), tė Wedekind-it (Frühlings Erwachen) dhe tė Hofmannsthal-it (Jedermann).
Nė vitin 1920 ishte i pari qė nė Lojėrat Festive tė Salzburgut (Salzburger Festspiele) luajti rolin kryesor nė Jedermann.
Moisiu vlerėsohej shumė nga publiku i tij pėr shkak tė zėrit tė tij tė bukur si dhe pėr angazhimin e tij emocional. Ai llogaritej sidomos nė vitet para fillimit tė Luftės sė Parė Botėrore si njė nga aktorėt mė tė mėdhenj nė hapėsirėn gjermanfolėse. Nė kohėn mes dy luftėrave ishte shumė kohė nė turne. Nė Berlin aktronte nė kėtė kohe vetėm si mysafir. Stili i tij i aktrimit llogaritej kėtu si i vjetėruar dhe nuk mund tė matej mė me zhvillimet teatrore si ai i ekspresionizmit, apo teatri politik i Brecht-it apo i Piscator-it.
Prej vitit 1910 e deri mė 1935 mori pjesė nė 10 produksione tė filmave, 8 prej tyre ishin filma pa zė.
Nė vitin 1935, pak kohė para vdekjes sė tij, Moisiu kėrkoi shtetėsinė e Shqipėrisė si dhe atė tė Italisė. Shqipėria refuzoi kėtė kėrkesė, kurse Italia ia dha shtetėsinė Moisiut, kur ai ishte i shtrirė nė shtratin e vdekjes.
Ai vdiq mė 22 mars tė vitit 1935 nė Vjenė. Ai ėshtė i varrosur nė varrezat e komunės sė Morcote-sė, pranė qytetit Lugano nė kantonin e Tessin-it nė Zvicėr.
Moisiu sot adhurohet dhe respektohet sidomos nė Shqipėri si njė ndėr aktorėt mė tė mėdhenj tė vendit, edhe pse ai qė nga rinia e tij mė nuk e vizitoi Shqipėrinė. Shkolla e aktrimit nė Tiranė si dhe teatri i Durrėsit e mbajnė emrin e tij.
Gruaja e tij Maria Moisiu ishte nga Vjena. Aleksander Moisiu ėshtė stėrgjyshi i aktorit Gedeon Burkhard (ndėr tė tjera i njohur me rolin e tij kryesor nė serinė Komisar Rex).